4   数学时空中的芝诺悖论及其破解

实际上，芝诺悖论不仅是经验悖论，它还可以是 或者首先可以是数学推理悖论或理想实验悖论。
如图1，我们可以设想一个实数连续统的数轴， 令一开始分别位于数轴上S。、S：(相距S。)的两个数 学点(P。、P。)同向做连续运动，令后面的点P。以较 快的速度V：追赶前面移动较慢的速度为V，的点 P。。这是理想化的追龟辩。这里，芝诺仍能以同样 的推理证明较快的点P。永远追不上较慢的点P。：

V2              V1
P2———•pt-----+

0     S2             Sl      S3  S4⋯Sn
L   So     一

图1
P：要追上P。先要到达P。开始的位置S。，但
Pz到达S-时P。又已移动到S。，待P。移动到S。
时，P。已到达S。⋯⋯这样P。到达S。时P1却在 S。+。，即使追赶的次数无穷大，P：也永远无法追上 P，。同时，我们可以(当然芝诺也可以)通过计算得 出经过长度为T=S。／(Vz—V。)的时间，较快的点 P：就会追上较慢的P：点，从而得到矛盾的结果。 于是，我们看到了一个数学的或理想实验的芝诺悖 论。
我们还可以(如图2)设想一个实数连续统的数 轴上有一个数学点Q，令其沿数轴以某种规定速度 V(它的位置为S。=VTi)连续移动。这是理想化的 飞矢辩。芝诺仍然可以证明这个点是不动的：
Ti     V
Q一

0                      &

图2
在这一过程中该数学点Q在任一瞬间都具有 相应的一个确定位置，因而在这一瞬间是不动的，同 样Q在所有的瞬间都是不动的。同时，我们(包括 芝诺)也可以从另外的角度从前提(点Q具有速度 V)出发证明这个点是动的。
显然，在这两个理想实验中，芝诺相应的两个推 理仍然有效。由于我们可以用严密的推理或计算， 得到与芝诺推理矛盾的结果，因而芝诺悖论仍然成 立。只不过，我们完全可以避开量子时空(或物理时 空或经验时空)的干扰，因此我们显然可以看到，这 里利用物理时空与数学时空的差别来消解芝诺悖论 的途径是行不通的。
更为严重的是，如果我们真的无法破解数学时 空内的芝诺悖论的话，将意味着逻辑或数学推理的 可靠性令人可疑，因为问题只能出自逻辑系统的内 部。这无疑将是灾难性的结果。
事情当然不至于那么糟糕。本文作者确信芝诺 推理自身存在着逻辑漏洞，无论在物理空间还是在 数学空间都是如此。实际上，根据类似于本文作者 发表的《解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞》03一文稍 加修改的论证方法，就可以给出破解数学时空芝诺 悖论的答案。
我们可以证明：在理想实验的追龟辩里，在“无 数次”掩盖下的限定时间被芝诺偷换为“永远”(偷换 概念)，违反了亚里士多德(Aristotle，公元前384—
322年)逻辑学的同一律(推理或思想的内容必须是 确定的)，因而其推理是错误的。
具体来说(图1)，在P：追赶P。过程中，一个又
一个的出发点分割出一段段越来越短的距离，相邻
段距离之比以及经由相应所需时间之比同为被追者 P。与追赶者P：速度之比q—V。／u，其中，设最初 两者距离为S。，追赶者跑过最初距离的时间为t。= S。／V：；那么追赶者P。跑过n段距离的总长S所需 时间为t。；
t。一tI(1-I-q+q2+⋯⋯+q”1)
t，=tl(1一q“)／(1一q)
由于1一q 4<1，即使n趋于无穷大 t。=t1(1一q 4)／(1一q)<tt／(1一q) t。<tl／(1一q) 显然，t1／(1一q)=S。／V：(1一q)一S。／(V：一
V。)为常量，因此，即使n趋于无穷大，t。仍然小于 一个常量，决不是“永远”。因此，芝诺的方法只是绕
了一个大圈子证明P。在少于so／(V：一V。)的时间 内追赶不上P。，实际上并不存在悖论。
我们还可以看到：在前面设想的数学时空飞矢 辩(图2)里，按照芝诺的思路来证明“数学点Q是不 动的”实际上包含着三层推理，其中“瞬间”的含意不
尽相同：
(i)Q在运动的任一瞬间必定在一个确定位置。 此处“瞬间”只能代表“时刻(Ti)”。
(ii)Q在运动的任一瞬间都在一个确定位置， 因而Q在任一瞬间都是静止的。此处“瞬间”又转 而代表“小时间段(Ti+。一Ti)”，否则我们无法判定 Q在该瞬间是否为静止。
(iii)Q在运动的每一瞬间都是静止的，而时间 是由瞬间组成的，所以整个时间内Q就不能处于运 动状态。此处“瞬间”只能代表“小时间段”。(责任编辑：南粤论文中心)转贴于南粤论文中心: http://www.nylw.net(南粤论文中心__代写代发论文_毕业论文带写_广州职称论文代发_广州论文网）