阵思想的萌芽历史悠久，早在公元前1世纪中国的《九章算术》就已经用到类似于矩阵的名词。《九 章算术》方程术中线性联立方程组的遍乘直除算法，用算筹将系数和常数项排列成一个长方阵⋯，这就是 矩阵最早的雏形。魏晋时期的数学家刘徽又在《九章算术注》中进一步完善，给出了完整的演算程序[2】。 矩阵演变的筹算过程就是现今矩阵的行初等变换，现今矩阵变换中的一些性质在方程术及刘徽注中都可 追溯到理论渊源。矩阵在中国古代的萌芽，蕴含了丰富的矩阵算法与程序化等思想。矩阵概念产生并发 展于19世纪的欧洲，欧洲的社会环境与文化背景为矩阵的早期发展提供了适宜的舞台，一大批矩阵理论 的奠基者做了大量的工作，使矩阵从零散的知识发展为系统完善的理论体系，为矩阵理论的形成与发展做 出了重要的贡献。

一、矩阵思想的早期孕育

《九章算术》中的解线性方程组是用矩阵的雏形来解决实际问题，没有建立起独立完善的矩阵理论。 从18世纪中叶开始，矩阵的这种阵列形式在不同的领域中应用日益广泛，行列式、代数型等理论的发展为 其提供了发展的条件，矩阵的思想得到了进一步的孕育与形成。矩阵早期的一些重要概念及思想，是独立 于矩阵理论自身，从不同领域及思想的研究发展而来，并最终包含在矩阵理论之中。
1、二次型理论研究中孕育的矩阵思想
18世纪中期，数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题，即二次型的化简。在这一问题

*山东省研究生教育创新计划项目(项目编号：SDYY07005)。
[收稿日期]2007年8月30日；修回：2008年1月14日
[作者简介]董可荣(1970一)女，山东沂源人，淄博师范高等专科学校数理科学系讲师，主要从事近现代数学史研究。 包芳勋(1968一)男，山东单县人，博士，山东大学副教授，主要从事阿拉伯数学史和近现代数学史研究。
的研究中，数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论。1748年，瑞士数学家欧拉(L． Euler，1707—1783)在将三个变数的二次型化为标准型时，隐含地给出了特征方程的概念。1773年，法国数 学家拉格朗日(J．L．Lagrange，1736—1813)在讨论齐次多项式时引入了线性变换【3J。1801年德国数学家高 斯(C．F．Gauss，1777一1855)在《算术研究》中，将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广，给出了 两个线性变换的复合，而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积【3】。另外，高斯 还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念，在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概
念。
1826年，柯西在《微积分在几何中的应用教程》中讨论了二次型束的特征根使束的行列式为零的情况， 证明了当其中一个二次型对变数的所有非零实数值是正定的时，束的特征根全为实数。
从18世纪中期到19世纪初，数学家们在研究二次型的过程中涉及到大量的线性变换，得到了许多重 要概念和结论。由于二次型和线性变换均可以使用矩阵来表示，所以这些概念和结论也就可以自然而然 地移植到矩阵理论之中。因此二次型理论是矩阵思想得以孕育的重要源泉之一。
2、行列式计算中孕育的矩阵思想
“从逻辑上来说，矩阵的概念应先于行列式的概念，但在历史上却正好相反”[4】。18世纪中叶，数学家 们开始用行列式的法则解线性方程组，在大量关于行列式的计算中用到矩阵的一些基本性质。1815年，柯 西在一篇关于行列式理论的基础性论文中用缩写的记号(口h)代表被其称之为“对称组”的矩阵【5】。另 外，在柯西有关行列式的工作中，还涉及到正定矩阵、对称矩阵以及相似变换等问题。在相似行列式的研 究中，柯西证明了相似变换有相同的特征根。1827年，德国数学家雅可比(J．Jacobi，1804—1851)得出结论 “斜对称矩阵的秩是偶数”【5】。1843年，德国数学家艾森斯坦(F．G．Eisenstein，1823—1852)用明确的符号
S×睐表示两个变换|s和z的复合，并在1844年的一篇论文中针对这种变换的复合写道：“顺便地，在它
的基础上可以建立一个算法，其中包括把乘除法以及乘幂的一般运算规则应用到两个线性方程组的符号 方程上。正确的符号方程总是可以得到，它思考的中心问题是因子的顺序，即方程组复合的顺序往往不可 以改变。【6】’’很明显，艾森斯坦这里所说的变换的一般运算规则实际上就是矩阵的运算法则，并指出矩阵运 算不符合交换律。
由此看出，矩阵的概念还没有明确给出，在行列式的计算中，矩阵作为一种工具就已经开始自由地使 用了。但那时的矩阵仅作为行列式的排列形式，在行列式的计算中遵循了矩阵的运算法则。因此伴随线 性方程组的求解而产生的行列式理论是矩阵思想的另一个重要源泉。
3、微分方程研究中孕育的矩阵思想
18世纪，物理问题促进了微分方程的研究，微分方程成为一门独立的学科。18世纪中期，微分方程的 求解成为微分方程课题的主要研究目标，在求解的过程中孕育了大量的矩阵思想。1743—1758年，法国数 学家达朗贝尔(J．d’Alembert，1717—1783)在研究二阶微分方程组时引入了矩阵的特征值和特征向量[6】。(责任编辑：南粤论文中心)转贴于南粤论文中心: http://www.nylw.net(代写代发论文_毕业论文带写_广州职称论文代发_广州论文网）