（7）
　　将稳定帕累托分布的特征函数代入式（7），并利用欧拉公式：，和“奇函数在对称区间上积分为零”的性质，可以得到稳定帕累托分布隐式表达的密度函数为：
　　（8）
　　式（8）就是本章中的实证分析所采用的密度函数模型。
　　（二）模型拟和的理论和方法
　　本章中采用极大似然估计方法进行参数估计。建立以对数形式表示的连加求极小化的似然函数，见式（9）：
　　（9）
　　这里，R=（R1，...，Rn） 是收益样本，θ是待估计参数矢量。当（9）取极小值，这时，就得到待估计的参数矢量θ。在实际应用中，使用的是Matlab软件中的基于Nelder-Mead的单纯形优化算法编程计算。
　　对于实际观测值的密度曲线，本章应用核估计方法得到。核估计方法是一种密度估计的非参数方法。密度函数的核估计记为：
　　（10）
　　其中，K（·）是核函数，它起到加权的作用，核函数的形状和值域控制着用来估计f（x）在点x的密度时所用数据点的个数和利用的程度。
　　在本章中核函数采用Bertlett核函数：
　　（11）
　　式（10）中的bn为：
　　（12）
　　其中，σ是样本的标准差。
　　（三）数据
　　我们选取的是上证综合指数和深证成分指数的日收盘价来进行分析，主要是因为这两个指数在中国证券市场很有代表性。分析数据为从开市以来的2543个和2499个日收盘价格数据的对数收益率。表1是两市指数收益率数据经过了均值化处理（所有的数据都减去均值）后，用Excel软件给出的统计描述。
　　实证结果及分析
　　经过编程计算，由于数据经过了均值化处理，分形分布的四个参数中，δ约为0，分形分布的另外三个参数分别如下。
　　对上证综指来说：
　　α沪=1.4713，λ沪=0.0132，β沪=0.0013
　　对深证成指来说：
　　α深=1.4304，λ深=0.0231，β深=0.0004
　　图1和图2分别是两市指数日收益率的分布图，分形分布、相应的正态分布和实际收益率数据的核估计密度在图中同时绘出。从图上可以看到，两市收益率都有很高的峰度，并有一定的偏斜度，沪市收益率的胖尾特征更加明显，深市收益率有更突出的峰度，显示了与正态分布非常显著的差异。两市收益率均可以用稳定帕累托分布很好地拟合。
　　分形市场研究认为，收益率的尖峰和厚尾是与人们对信息反应的方式有关的。在有效市场理论中，人们是以原因—结果的方式对信息做出反应，人们接到信息，并通过价格将新信息在价格中反应出来。但是，当投资者遇到新的信息时，在趋势不明显之前，或由于投资者的个人知识水平、时间精力有限，不足以对信息做出客观的评估，或由于信息不对称等原因，投资者忽略了信息而没有做出反应，这样价格就没有受到新信息的影响而波动较小，我们会得到更多的峰值附近的观测值；当趋势明显足以做出判断时，又以累积的方式对所有以前被忽略的信息做出反应，我们就会得到更多的尾部观测值。收益率的尖峰和厚尾暗含着价格存在正反馈效应，意味着人们是对信息以非线性的方式做出反应，这也意味着现在的价格是受过去影响的，这种情况是与有效市场相抵触的。另外，对于沪深股市过度的峰值，除了在中国股市不成熟的市场环境下，投资者不能对信息做出迅速、客观的评价的原因外，可能还和我国股市实行涨跌停制度有关。
　　1.王春峰.金融市场风险管理.天津大学出版社，2001
　　2.吴喜之，王兆军.非参数统计方法.高等教育出版社，1996
　　3.黄飞雪，赵岩. 基于R /S分析的人民币外汇市场分形特征实证研究.哈尔滨工业大学学报（社会科学版），2008，11
　　4.王鹏等. 中国交易所债券市场分形特征的实证研究.数理统计与管理，2009，3

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