在当今的主流金融计量理论形式中，以下几个概念为基础：一是理性投资者。投资者追求给定风险水平下的最高收益或给定收益水平下的最小风险。二是有效市场。价格反映了所有公开的信息，价格的变化各不相关。可能有非常短期的相关性，但会迅速消散。三是随机游动。收益率遵循随机游走，即布朗运动。因此概率分布近似正态或对数正态。这隐含着收益率的分布至少有一个有限的均值和方差。
　　长期以来，主流金融计量理论假定投资者是理性的、有秩序的和有条理的，人们是以因果线性的方式对信息做出反应。随机游走和正态分布的假设，对构建现代投资理论起了决定性的作用，它极大地简化了数学模型的推导。然而，多年来大量有关收益率分布及现代投资理论适用性问题的实证研究却不断对此提出质疑。如果股票价格不是独立的，那么收益率的分布还会是正态分布吗？如果不是，可以用怎样的分布规律来描述？
　　国外学者很早已经发现，收益率的分布明显异于正态分布，具有“尖峰”和“胖尾”（概率密度曲线在均值附近有更高的峰度值和过多的尾部观测值）。Mandelbrot（1969）将之称为“稳定帕累托”（Stable Paretain） 分布。价格运动也不是遵循随机游走，而是服从Mandelbrot称之为“分数布朗运动”（FBM）的有偏随机游动。
　　社会经济现象与自然现象有本质的不同，在自然现象中，很多变量服从正态分布；而在社会经济现象中很多现象服从负幂律分布。它们可以用非正态的稳定帕累托分布描述。在经济学文献中，稳定帕累托分布又称为Pareto分布、Pareto-Levy分布或分形分布。这些分布的性质最早由Levy推导出来，而他的工作又是以Pareto有关收入分布的工作为基础的。
　　人们早就发现金融市场价格不是正态分布，与正态分布相比，有更高的峰值和更胖的尾部。在分形市场分析的框架下，用分形分布描述金融市场价格的这种分布特性。20世纪60年代，Mandelbrot（1963）研究了棉花的价格，发现棉花的价格不服从正态分布，可以用α≈1.7的对称稳定帕累托分布，也就是分形分布来描述。Manlegna和Stanley使用了标度从1分钟到1000分钟的1447514个数据，研究了美国标准普尔500指数的分布规律，得出可用稳定分布来描述该指数收益分布所具有的尖峰和厚尾的分布特征的结论。
　　稳定帕累托分布及其性质
　　Pareto稳定分布不易用密度函数的形式表达，它的特征函数呈下列形式：
　　（1）
　　其中，λ是尺度调整参数，它表示曲线的宽度，λ>0；β是偏斜度的度量，-1≤β≤+1，β=0时，分布是对称的；δ是位置参数，表示均值的位置；α是特征指数，α既度量分布的尖峰程度又度量分布的胖尾程度，0<α≤2，这里，α是概率空间的分形维，α=1/H，H就是Hurst指数。在分形分布中α是最重要的参数，α值的改变会激烈地改变时间序列的性质。只有当α=2（H=0.5）时，该分布才等价于正态分布，这时，方差有限且稳定，因此，只有价格是随机游走时，方差才是重要的描述风险的信息。除此之外，方差是无定义的或可能是无穷的，这时，作为风险度量的样本方差是无意义的。
　　当α=2时，分形分布退化为正态分布：
　　（2）
　　当α=1，β=0时，分形分布就成为柯西分布
　　（3）
　　Pareto稳定分布（分形分布）的性质主要有：
　　一是稳定性。对于分形分布，如果对于所有的b1、b2>0，存在一个b>0，满足下列关系：
　　（4）
　　或用特征函数表示，令ψ（t）是f（x）的特征函数，相应有：
　　（5）
　　称这种关系是稳定的。这表示f（x/b1）、f（x/b2）和f（x/b）即相应的特征函数ψ（b1t）、ψ（b2t）和ψ（bt）具有相同形状的分布，只是尺度不同而已。分形分布的直观意义是经过适当的总和程序后，其分布不变。
　　二是可加性。具有相同特征指数α的分形分布随机变量相加，得到的随机变量仍然服从相同α特征指数的分形分布，只是其他参数可能会有所变化。
　　三是厚尾性。分形分布具有比较厚的尾部，特征指数α决定了分形分布尾部的厚度。同等离散程度下，α越小，分形分布的尾部越厚。
　　四是非连续性。非正态分布的尾部太厚以至于它们的方差及所有更高阶的矩都是无限的，当样本增大时，这些分布的方差和峰度的样本估计不会收敛，而是趋向于无限增大。因此，分形分布能产生大幅度、突发性的变化。这种突发性大幅波动类似圣经故事中的Noah效应，其数学名称是“无限方差征群”（Infinite Variance Syndrome），这样的系统易出现突然和激烈的逆转。由于分形分布允许出现间断、突发性的变化，可以较好地描述金融市场价格行为的突然变化。
　　五是长期记忆性。分形分布可以产生有长期记忆的时间序列，1<α≤2对应于0.5　　六是自相似性。在做了标度调整之后，分形分布仍然会保持同样的形状，这种序列称为是标度不变的。
　　七是逆幂律性质。对于对称稳定分布：
　　（6）
　　这里，F（x）是分布函数。满足（6）式的分布称为负幂律分布，由此可以看出负幂律分布与稳定分布之间的内在联系。
　　可见，分形分布族模型扩展了主流金融计量理论的正态分布假设。正态分布来源于市场价格的随机游走和连续定价，这种市场状况是稳定和均衡的；而分形分布涵盖了收益分布的偏斜、尖峰和厚尾等各种复杂特征，暗含着价格运动的各种复杂情况，正态分布只是其中一个简化的特例。 　实证研究的方法和数据
　　（一）稳定帕累托分布参数估计的密度函数模型
　　由于稳定帕累托分布的密度函数不能用显示表达，因此，通常用特征函数表示。比较而言，分形分布由四个参数确定，λ表示曲线的宽度，β是偏斜度的度量，δ表示均值的位置，α既度量分布的尖峰程度又度量分布的胖尾程度，0<α≤2。对于金融市场价格的分形研究中，一般α在1和2之间，这一范围内的α对应的时间序列具有长期记忆性和统计上的自相似性，是分形。
　　根据密度函数和特征函数的转换关系： (责任编辑：南粤论文中心)转贴于南粤论文中心: http://www.nylw.net(南粤论文中心__代写代发论文_毕业论文带写_广州职称论文代发_广州论文网）