1)一般地，设置为有嘶个分激的列向量，(i=1，2，⋯。
p)，则
表示禽有羔嘞个分鬣的列向量．
2)零向量用“0”表示，在不间的地方根据上下文不难黉 出它的分慧个数．
3  Petri网的本原可麓复向量集 定义6瞄1．已知网Ⅳ=(S，致F)，蛊S=溉，赶，⋯，％}，r
={t。，f2，⋯，‘}，剃称网以=(鼠，t；艺)为网Ⅳ的变迁扩充
网，当且仅墨：
(1)砖=s；  (2)瓦=rul岛+l，气+：，⋯，毛。，}； (3)以=FU{(s，，“+1)，(屯，‘+2)，⋯，(‰，‘+。)} 事实上，变迁扩充网是在原网的基础上为每一个库所分
别增加一个新的变迁而褥弼的．
引理2HJ．矩降A为网Ⅳ的关联矩阵，网M为瞬Ⅳ的变 迁扩充网，任取矗维非平凡菲负整数向蕾x，x为网Ⅳ的可重
复向最，当且仅当(X，6)7为网M的卜不变量，其中b=觚
上述引理说骥：一个阏的可攮复向量与其变迁扩究两誊 的不变量之间存柱对应关系[2]．
定义7．设N=(s，≯；尹)为一个网，墨，避，⋯，鼍是网Ⅳ 的一组可墩复向擞．如粜^，的任意一个可重复向量都可被 墨，蜀，⋯，恐菲负整系数线健表斑，那么称{xl，x2，⋯，鼍}为 Ⅳ的一个可重复向最表出集，记为pre+SPRVs(或pre．SPRV (Ⅳ))，帮
pre，SPRVⅣ={墨，％，⋯，鼍}
每一个墨(i=l，2，⋯，露)称力Ⅳ的一个镶本原嚣重复淹蠹．
定理1．令网M为网N=(s。T；F)的变迁扩充网，H，y2，
⋯，《荛鼹辑静瓤有极小曩不交萋，襄{墨，憨，⋯，鼍}秀瘸
Ⅳ的一个可重复向摄表出集．其中： 嚣=(材i。l，Yl，：，⋯，Yl一，Ys．蠢+l，⋯，魏，#+带)1，
∞=(Y，J，Y啦，⋯，Y1．。)。，
￡=l，2，⋯，k，鞋=lTI，m=lSl。
证明：设X为网Ⅳ的任意一个可重复向擞，则由引理2 翔(x，矗)7秀鼹镌的F不变量，其中b；AX．瘛孳l溪1絮瓣
札的n不变量(x，厶)7可以表示为网M的极小乃不变量的
菲受整系数线性缝合，鄹存在一缀薯#受整数瑾，，鳓，⋯，at，使 得
(x，务)1=锑lE+魏砭+⋯+嚷玟 所以x=nl置+嘞鹄+⋯+口I溉，即x可以被墨，鼍，⋯，鼍 棼受整系数线性表窭，耄溪本愿露重复囊量的定义知{xl， 恐，⋯，鼍}为网Ⅳ的一个可重复向量表出集．
麦子每一个隧都只有有限个极小曩不变量(霹以诞疆)，
所以由上面的定理得到的可重复向量表出集魁有限集，由定 义5襁定义7知，可重复嬲量表燃集pre-SPRVs与本蹶霹重 复向基集SPRVⅣ的区别在于，前者当中可能含有“多余”的 可重复向量X，x霹以被其它的可重复向量菲受整系数线性
表出．为了将这些“多余”的可堂复向鬣在pre-SPRVN中去 除，藤最终褥到SPRVs，我们绘出下露的算法．筹法依次考查
霉重笺窝量表窭象pre-S强VⅣ={鼍，骂，⋯，墨}孛鳇每一个
可重复向量x，，f=1，2，⋯，r，判定xf是否殛多余的．葺是多 余的，糍且仅当墨可以被向量组{五，⋯，％。x，+l'．”，鼍}非 受整系数线性表出(在以下不致引超混淆的缝方篾称袭出)， 递翔蕊数Linear combine(X，vs)用来判定拜维菲受熬数向量
x能否被含有W个n维非负擞数向量的向量组VS={墨．，
＆，⋯，墨。}表出，若能到返回tree(1)，否则false(O)．对它的
释释妇节： (1)若x=O，则返回true； (2)若XOO，且对馏中的任意一个向量五，，都有葺，大
手x裁誊鼍。与x戈法毙较大小，嬲x不裁被礤表感，返霾
false
(3)若XOO。且x大于等乎峪中的某个墨。，则考查(x- 墨；)毖孬教醛表凌
(3．1)若能，瓣x一定熊被谘表出，返回true； (3．2)若不能，则考查裕中下一个小于等于x的向
量，妻列判定x能孬被凇表出，返回相廒德．具钵理论袄据 如-f：设蠢醛中小予等于x酶溺量缮或的集舍为VSl，VSl≤
惟，若存在墨，EVSl，使得(x-‰)能被访液出，则x一定能
被VS淡出；若对予任意的墨．麟VSl，(X-Xo)均不能被俺表
出，翔X一定不戆被VS表塞。 算法1．由可燕复向量表出集pre-SPRVⅣ求本原W重复
向量集SPRVN．
簸入：胃重复翔虽表出集pre-SPRV。{墨，墨，⋯，鼍}。 输出：本原哥燕复向量集SPRVN={罱，恐，⋯，鼍}． SPRV。—彩(空集)
forfI—l自D，do 疆(，linearcombine(墨，{墨，⋯，戤，墨。l，⋯，一}) then
SPRVⅣ+_S辩WⅣu墨
／•著x|不能教鼍，⋯，嚣，，茸+，，⋯，嚣菲受整系数线性 表出，受|j将墨加入SPRVx中。融递归函数Linearcombine(X， vs)实现幸／
把雕
函散1．Linear-combine(X，vs)／搴递懿滋数，舞定，|维菲
负整数向量x能否被含有W个糟维非负擞数向量的向量组 访非负整系数线性表出幸／
输入：拜维萋受整数悫萋X，n维菲负熬数囊量缀VS=
l xf。•黾，⋯，曷。} 返阐值：若x可以被访非负整系数线性表出，true(1)；
否刚,false(O) if(X==O)粥tIl趱flue； dse
{
for《歹=l菇《=wd++)
if((x≥墨。)越Linear．combine(鬈％，，vs))then
break；
疆(j<=w)then  r'etlll'll true；／幸若嚣正常退出上蓠的
for锤强，掰说骥x可叛被表毒幸／
else l：】eturfl  false；
I
对于网Ⅳ的任意一缀可重复向肇墨，鼍，⋯，鼍，若满足 定义7静条件，则它们就缝成阏Ⅳ的一个爵蘸复商量表掰 熊，如前所述，网Ⅳ的变迁扩充网虬具有有限个极小D不变 爱，由定理1可以得到JIv的一个由有限个元素组成的可重复 波量表窭集，秘翔算法1辩它透簿娥瑾羲露叛褥爨Ⅳ静一个 元素有限的本原可重复向量集，下颟的定理告诉我们，对予任 意一个网N=(S，死F)，N的本原可踅复向量集是唯一的，并 基其中的可燕复囊量是有限静．定壤证骥的思路是扶算法1 求出的阚Ⅳ的元索有限的本原可重复向量案S辨wl，出发， 证明网Ⅳ的任意一个本原可重笈向量集SPRV2。都是
SPRVl。的子集．对于SPRV2Ⅳ中的任意一个既索x，假设X 簪SPRVlⅣ，剡壶它露泼我秀一个耩于SPRVlⅣ雨不震皆 SPRV2Ⅳ的向量xI『l'且XIj。<x；同样方法由xl^可以找到一(责任编辑：南粤论文中心)转贴于南粤论文中心: http://www.nylw.net(南粤论文中心__代写代发论文_毕业论文带写_广州职称论文代发_广州论文网）