(r*谢*r)(e)=m(r@id圆r)(△o ia)zl(e)
=，“一1．，“一1(一旅)+．，“一1 e后+(一ek)•№=一ek=r(e)； (／d*r*以)(e)=m(ro／do r)(△@／d)△(e)
=，m‘1_，m一1e+Jm一1(一e艮)‘i+eJ}云=dm一1=／a(e)． 同理可证明(r*谢-X,r)(，)=r(，)，(以*r*以)(f)=掘(一成立．
定理1设％是由k，蠡，e，厂及尸生成的蛾(1+1)的子代数，且满足。一1=e，J7—1
=j-，那么(虬，m，l‘，△，￡，r)是一个非交换和非余交换的弱Hopf代数．而且当J“≠l时，它不 是Hopf代数．
证明 由引理l可知(玑，m，“，A，e)是一个双代数，要证r是一个弱对极。事实上，当X
=．|}，后及J，，I时，有(r*／a)(X)=(谢*r)(x了=J”．而且 (r*以)(e)=(谢*r)(e)=0，(r*以)(厂)=(／d*r)(／)=0，
于是对所有X=J|}，后，e，j-及_，“，可得(r*谢)(x)和(迸*r)(x)都是砜的中心元素．可验证
每个生成子的余积是生成子的双线性表达式，故对任意生成子x，l，，若 (r*耐*r)(X)=r(X)，(以*r*／a)(x)=／d(X)， (r*／d-X"r)(y)=r(y)，(词*r*以)(y)=ia(y)，
则(r*／d*r)(肼)=r(．秽)，(记*r*谢)(xy)=／d(鄹)．据引理2得，对任意x∈乩，都有
(r*／d*r)(X)=r(x)，(／d*T*谢)(x)=／d(x)，从而r是一个弱对极，故(玑，m，u，A，e，r)是
一个弱H0pf代数，显然它是非交换和非余交换的．
当J“≠1时，假设砜是一个对极为S的Hopf代数，则有(／d’S)(．，“)=眶(，“)=1，即 s(J“)．，“=1．实际上J”(1一J“)=0且J”≠1，可知S(3“)，4=1是不可能的，故玑不是 Hopf代数．
推论 当且仅当n／,=2且d”1=e，YJ一1=，时，(t‘，P口(1+1)，m，扯，△，￡，r)是一个弱
rtor,f代数．
证明 假设蛾(1+1)是一个弱Hopf代数，则需要(／d*r*／d)(，)=33=_，．而．，m=
．，一1，则必有_，2=．，，即rt／,=2．此时t峨(1+1)=虬，它是一个弱H0pf代数．
4弱Poincar6代数wP。(1+1)的基
设Wl=乱峨(1+1)，“，耽=嵋(1+1)(1一J。)．下面讨论弱Poincar鬯代数嵋(1+1)与
一般的Poincar6代数P口(1+1)的关系．
定理2 wPq(1+1)=Wl o耽，并且矽l是一个Hopf代数且与‘(1+1)同构． 证明 由于矽l，耽都是嵋(1+1)的理想，故嵋(1+1)=Wl o w2显然成立． 定义映射9：Pq(1+1)一蛾(1+1)满足
9(后)=后，妒(K一1)=i，9(E)=e，9(F)=厂，9(1)=J“，
不难验证9是同构映射，形l是一个Hopf代数且与匕(1+1)同构．
引理3[2】 代数P口(1+1)是—个无零因子的Noetherian代数，并且集合{E‘F哌‘l￡，．『∈Ⅳ，l∈ZI 是它的一组基．
引理4设X=e(1一J“)，Y=“1一，。)，则下列各式成立： (1)X(1一J“)=(1一．，。)X=X； (2)y(1一，“)=(1一，”)Y=y；
(3)XY=疆．
证明 等式(1)和(2)是显然的．对于(3)，根据矿一启=∥”tf以及性质1，
XY=e(1一_r“)厂(1一J“)=影．(1一，“)=(fi+∥勺．)(1一_，”)=启(1一．，“)=YX．
定理3(1)代数形l是一个无零因子的Noetherian代数，并且集合
{e姚‘，e∥∥l i，．『∈N，z∈z)是形l的一组基；
(2)代数耽同构于代数多项式k(x，，，)，并且{x，Y，1一．，“}是砚的一组基．
证明根据定理2和引理3，可得(1)成立．现设映射≯：W2一七(茗，，，)满足：
≯(X)=善，≯(y)=Y，妒(1一J。)=1．
由引理4可得妒是同构映射，故{x，y，1一J“}是％的一组基．
参考文献：
【1]Li Fang．Weak Hopf algehrns and 80me new solutions of the quantum Yang-Baxer equalion【J】．Jo皿nal of Aleebra，
1998，208：72—100．
【2]Yang Shilin，Yang Yichmm．Representations of nonstandard Poinoar6 Hopf algebras【J]．Communications in Algebra，
2008。36：732—748．
[3]Ye“xia。“f Fang．Weak quantum Borcherda superal辞brns and their representations[J]．Joumal of Mathematical
Physics。2007，48：023502．
