1 引 言
设日特征为0的域k上的双代数，如果存在一个代数同态r：日一日满足
r*话*T=T， ／d．16 T*／d=／d，
则称r为日的一个弱对极，日为弱Hoot代数【l】． 令q是非零参数，复数域c上的Poincar6代数‘(1+1)【2】在量子物理学中有广泛的应
用．它的生成子E，F，K“满足下列关系式：
KK一1=K一1 K=1， El(一ICE=q(K一1)， FK=KF，
EF—FE=qF．
它是一个Hopf代数．采用与文献[3]类似的方法，把麟．1=K～K=1弱化为比文献[3]中的正
则性更弱的条件，从而构造一个弱Poincar6代数wPq(1+1)，并讨论它的双代数结构和相关性
质．
2弱PoincarO代数w』％(1+1)的定义 引入生成子，，使得对某个正整数m，
J“=．，“’1=k k=kk， (2．1) 并且当r<rtg时，，7≠．，r～．那么当k和i不是零因子时，
盘，”=J础=后，kJ4=J“k=k． (2．2) 定义1 弱Poincar6代数wPq(1+1)的生成子e，厂，k，i及，满足关系式(2．1)、(2．2)和下
列关系式：
kJ=屈=k，kJ=皿=k， (2．3)
砖一k=g(七一尸一1)， e i一一ke：口(弘一i) 乃=矿，．fk=矽，
《一和=妒¨1．
显然当，“=1时，有tl峨(1+1)垒‘(1+1)，故下文中规定，“，‘1．
利用定义1，不难证明下列性质．
性质1 _，m一1和1一．，n一1是一对正交的幂等元，且当X=露，i，e，，及．，时， 叉7m一1=．，“‘1X，X(1一J“一1)=(1一．，。一1)X．
性质2对任意正整数n，下列式子成立：
■一l
(1)【en，蠡]=一哪m-Ien。1+q∑en-|-，k，；
j．o
(2)[e，k“]=，l叮(矿一矿．1)；
(3)[e4，门=∥”1∑矿。1‘7乃7；
1-0
(4)[e，f“]=耐,,-if“．
3弱Poinear6代数w尸口(1+1)的双代数结构
定义映射△：l嵋(1+1)一嵋(1 4-1)@wp,(1 4-1)，E：蛾(1+1)一屉，以及r：嵋(1+1)
一toPq(1+1)满足：
厶(J)=_，o，，△(蠡)=蠡。屉，△(矗)=奄o k；
△(e)=，。-1@e+eo后，△(，)=．，。“0厂+，圆蠡；
￡(e)=e(厂)=0，e(露)=e(J})=￡(．，)=1；
r(．，)=，，r(后)=i，r(i)=k，r(e)=一ek，r(，)=．，i． 引理1 (埘匕(1+1)，m，u，△，s)是一个双代数．
证明 易证(叱(1+1)，△，￡)是一个余代数且￡是代数同态．下证△是代数同态．省略一
些直接的运算，只验证△能保持关系式(2．4)一(2．7)的运算．对于关系式(2．4)，
△(e)△(麝)一△(后)△(e)
=(如一k)固触+后o(如一耽)
=q(后一，“一1)固J“一1 4-屉圆q(屉一J。一1)
=A(口(摩一．，8—1))．
类似可证△能保持关系式(2．5)和(2．6)成立．对于(2．7)，利用性质1可得：
△(e)A(，)一A(，)△(e)
=(矿一力)p瓢+．，。一10(矿一夕)+e．1。一1p(可一／i)+．，。一1内(如一勋)
=∥“一‘，oJ“一1+．，“一1，oq(露一J“一1)+，。。1@∥。一1，
=口(，“一10．77 hi-!+．r“一1／‘0矗)
=△(一““，)． 因此(we,(1+1)，m，u，△，s)是一个双代数．
引理2(1)2’是代数蛾(1+1)上的一个反代数同态；
(2)当d“一1=e，t"I一1=，时，对所有x=蠡，i，e，f及J“都有
(r*诅*r)(X)=r(X)，(以*r*／d)(X)=迸(X)．
证明(1)省略一些简单运算，只验证r能保持关系式(2．4)和(2．7)成立．因为
r(蠡)r(e)一r(e)r(蠡)=后(一ke)一(一ek)詹=d“一1一kek wq．口(i—Jm’1)=r(口(||}一，“一1))，
于是r能保持(2．4)成立．对于(2．7)，可验证如下：
r(一r(e)一r(e)r(／)
=(一fk)(一如)一(一eJ})(-fk)=．|}(扣)|i}一ey，。‘1
=后(矿一∥“一1f)后一el"，“一1
=i(ke+咖一∥“-1)f一口∥一1一ef．，一1=r(q．1m-I一．
因此r能推广为代数舻。(1+1)1-的一个反代数同态．
(2)当X=．|}，后或J“时，等式显然成立．因为
(△o记)△(e)=，“-10．，“卅o e+J”“o eo屉+eo屠。后，
于是当盯一l=e时，(责任编辑：南粤论文中心)转贴于南粤论文中心: http://www.nylw.net(南粤论文中心__代写代发论文_毕业论文带写_广州职称论文代发_广州论文网）
