yt=［100ln(RGDPt)］ (1) 其中RGDPt代表实际GDP序列，ln表示自然对数，表示对序列进行一阶差分，yt即为实际GDP的百分化增长率，单位为%。① ①本文之所以使用百分化增长率，是为了使增长率数据在数值上
yt=Δ［100×ln(RGDPt)］ (1)
其中RGDPt代表实际GDP序列，ln表示自然对数，Δ表示对序列进行一阶差分，yt即为实际GDP的百分化增长率，单位为%。① ①本文之所以使用百分化增长率，是为了使增长率数据在数值上不会过小，从而方便处理，这样做并不会改变数据的性质，具体细节可参见Hamilton (1994)［13］。 本文的样本期间为1994年2季度至2011年2季度。对中国GDP数据，首先用2005年季度CPI定基比平减2005年名义季度GDP数据，② ②此处为了与美国GDP数据的处理保持一致，选择用2005年CPI进行平减。CPI季度定基比数据可由此季度内月度的定基比数据的平均值来代替，月度定基比数据可由月度环比数据推算。何新华（2006）［14］对以月度价格指数合成季度价格指数的方法进行了详细的说明。 得到以2005年1季度为基的实际季度GDP数据，并将其转换成累计数据。再通过1995年1季度至2011年2季度的实际GDP累计同比增长率数据，得到1994年1季度至2011年2季度的实际GDP累计数据，再处理成当季实际GDP数据。利用人民币对美元加权平均汇率将上述以人民币表示的实际GDP数据转化为以美元表示，单位为十亿美元。最后利用目前常用的由美国商务部人口普查局开发的X12方法对上述数据进行季节调整。③ ③此处X12季节调整是在EViews 6软件上实现的。以上原始数据均来自中经网统计数据库。美国的实际GDP数据来自美国St. Louis联邦储备银行的FRED数据库，数据是以2005年为基期的经过季节调整的年化实际GDP数据，单位为十亿美元。将上述年化数据转化为每季数据，即将年化数据除以4。④ ④“年化数据（Annual Rate）”是将季度数据或月度数据转换为可以和年度数据相比较的数据，对于季度GDP数据通常的做法是乘以4。
经过以上处理后的数据如图1所示。根据公式(1)，首先将上述所得的中美两国实际GDP数据取对数后再乘以100，得到对数百分化的实际GDP序列，然后对上述序列取一阶差分，从而得到最终所用的实际GDP增长率数据（分别用yCN和yUS表示），如图2所示。
（二）单变量的时变频域分析模型
对经济波动的频域分析，就是将GDP增长率数据转换为不同频率下的波动强度。对这种不同频率下波动强度的度量指标便是谱函数（Spectrum），它表示出哪些频率下波动比较强，哪些频率下波动比较弱。由此可知，时域方法表示不同时间上GDP增长率的波动强度，频域方法表示不同频率上GDP增长率的波动强度。
如前所述，为了分析不同频率下GDP增长率的波动强度随时间的变化，可以采用时变频域分析方法。其建模过程可以概括为，首先为GDP增长率（yt）建立一个时变的自回归（Autoregression, AR）模型，在此基础上应用极大熵估计方法求出yt在每一时刻的谱函数。具体处理过程如下：
1．时变AR模型的建立及其系数的估计。为yt建立一个时变的AR模型：
yt = a0,t + ∑pj = 1aj,t yt-j + εt ，εt~IID(0,σ2ε) (2)
根据Cogley and Sargent (2001)［15］的思想，各系数被给定为一个随机游走过程，即aj,t=aj,t－1+uj,t，uj,t~IID(0,σ2uj)，j=0,…,p。模型(2)中的滞后阶数p可以根据时不变的AR模型由AIC准则来确定。为了求出模型(2)中各系数的时变估计量，本文采用状态空间模型（State-Space Model）和Kalman滤波方法。首先将各系数作为状态变量（State Variables），来估计模型中残差的方差。在得到残差方差的估计量后，再估计出状态变量的滤波估计量（Filtered Estimator）作为AR模型(2)中各系数的时变估计量。具体过程如下所述：
令Xt=(1,yt－1,…,yt－p)，αt=(a0,t,…,ap,t)，ut=(u0,t,…,up,t)，模型(2)可以表示成状态空间模型形式：
yt=Xtαt+εt
αt+1=αt+ut (3)
模型(3)中的两个方程分别称为测量方程（Measurement Equation）和状态方程（State Equation），其中αt即为状态变量。为估计出模型(3)中的未知参数，也就是各残差的方差，应用Kalman滤波方法构造模型(3)的极大似然函数。Kalman滤波过程可以写成：
αt|t－1=αt－1|t－1，Pt|t－1=Pt－1|t－1+Σu (4)
vt=yt－yt|t－1=yt－Xtαt|t－1，Ft=XtPt|t－1X′t+σ2ε (5)
αt|t=αt|t－1+K*tvt，Pt|t=(I－K*tXt)Pt|t－1，K*t=Pt|t－1X′tF－1t (6)
其中αt|t－1、αt|t、Pt|t－1、Pt|t、vt、Ft和K*t是根据公式(4)-(6)的循环计算所得到的序列。通过以上Kalman滤波过程所构造的极大似然函数可以写成：
lnL(φ|y1,…,T ) = ∑Tt = 1lnf(yt |y1,…,t-1 ;φ)
= -(NT/2)ln(2π)-(1/2)∑Tt = 1(ln|Ft | + v't F-1tvt ) (7)
其中φ=(σ2u0,…,σ2up,σ2ε)为状态空间模型(3)中的未知参数。通过对极大似然函数(7)的优化，可以得到未知参数φ的估计量。
将未知参数φ的估计量代回状态空间模型(3)中，再次进行公式(4)—(6)所示的Kalman滤波过程，所得到的序列αt|t即为状态变量αt的滤波估计量，也即是所求的模型(2)中系数aj,t，j=0,…,p的时变估计量。
2．时变谱函数的计算。根据时变的AR模型，来计算yt在每一时刻的谱函数。将模型(2)写成(1－a1,tL－…－ap,tLp)yt=a0,t+εt形式，其中L表示滞后算子。根据Burg的极大熵估计方法（可参看Cover and Thomas, 1991）［16］，yt的时变谱函数可以通过下式计算： (责任编辑：南粤论文中心)转贴于南粤论文中心: http://www.nylw.net(代写代发论文_毕业论文带写_广州职称论文代发_广州论文网）
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