在初等数学中所学的一些方程,如线性方程、二次方程、指数方程以及对数方程等,都是用来研究问题中的已知数与未知数之间的关系。但在实际工作中,有一些问题不能用上述类似的方程解决。例如:物体在一定条件下的运动变化规律;火箭在发动机推动下在空间飞行的轨道问题;飞机和导弹飞行的稳定性研究等等。这类问题要寻找的已不再是一个固定数字,而是要去寻找满足条件的一个或者几个未知函数。解决这类问题,也就是要研究问题中的已知函数和未知函数之间的关系。因此,把这类联系着自变量、未知函数以及其导数的关系式,称为微分方程。其中只含有一个自变量的微分方程称为常微分方程。
常微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门学科,它的形成和发展是和力学、天文学、物理学等其它科学技术的发展密切相关的。牛顿利用微分方程证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆;法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯分别通过微分方程计算出当时尚未发现的海王星的位置(这在以后的实际观测中得到了证实)。现如今计算机技术的迅猛发展更是为常微分方程的应用提供了强有力的工具。自二十一世纪以来,在许多应用数学家的共同努力下,常微分方程的应用范围不断扩大,并逐渐深入到电信、机械、核能、生物、经济以及其它众多社会学科的各个方面,因此,现在微分方程已经成为当今数学中最活跃的分支之一。
一般说来,用常微分方程去解决某些实际问题,过程主要有以下三步:一、建立微分方程;二、确定初值问题;三、求解方程。因为在利用微分方程求解时,所遇到的问题是广泛而复杂的,所以在建立方程时就要涉及到多方面的科学知识。因而在建立方程时,首先要从问题中分析出哪些是已知量,哪些是未知量,然后可用以下两种方法建立方程:从任意一个瞬时状态寻求未知量的变化率与各个变量和已知量的关系,把变量间应该服从的规律用数学式子表示出来,即表示为未知函数的微分方程;从局部的微小改变中寻求微分与各个变量和已知量的关系,利用微分概念并根据变量间应该服从的规律列出方程,这种方法又称为微元法。
因为经常会涉及几何、物理、热学、电学及生物、经济等方面的问题,因此在建立微分方程时,经常要注意把握这些内容:了解导数在各个实际问题中的意义;熟悉与问题有关的各种定律、原理、准则。一般来说,求出微分方程的解之后,还应检查所求得的解是否合理,力争做到所求的解与实际问题的情况相吻合。
一、电路分析方面
分析动态电路,首先要建立描述该电路的微分方程。为了求解微分方程,我们首先要关注电路状态参变量电流与电压的初始值。电路条件的突然变更,诸如开关动作、参数及电源的变动等都将使电路的状态出现新的变动,称之为电路发生换路。工程上常把出现这种新过程的瞬间称为初始时刻,此刻电路的状态uc(0),就是初始状态。从电路的微分方程来看,也就是初始条件。下面以RLC串联电路微分方程的建立来简要说明。
对于常见的RLC串联电路,以电容电压uc作为电路的响应,列出该电路方程。由克希霍夫电压定律得uL+uR+uC=us,由于i=C(duc/dt),uR=Ri=RC(duc/dt),uL=L(di/dt) =LC(d2uc/dt2);将它们带入克希霍夫电压定律方程,整理得d2uc/dt2+(R/L)( duc/dt)+(1/LC)uc=(1/LC)us, s,又根据初始条件uc(0),(duc/dt)i=0=ic(0)/C= i(0)/C,解此微分方程可得特解,即该状态电路电压。
二、动力学方面
动力学的基本定律是牛顿第二定律f=ma,这也是用微分方程来解决动力学问题的基本关系式。它的右端含有加速度a,a是速度对时间的一阶导数,是位移对时间的二阶导数。要列出微分方程,关键就在于寻找外力f和加速度的关系,这个关系一旦找到,就能利用该定律列出微分方程了。需要指出的是,在求解时要特别注意问题的初值情况。
例:一物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用,在速度不太大的情况下,空气阻力可看作与速度的平方成正比。试证明在这种情况下,落体存在的极限速度V1。
分析:假设物体的质量为m,所受空气阻力的系数为k,又设物体在t时刻的下落速度为v,那么根据题意可知物体在下落过程中所受的空气阻力大小为kv2,又已知速度对时间的导数即为加速度a,所以,根据牛顿第二定律,得微分方程:
mg-kv2=m(dv/dt),又因为V(0)=0,即可求解该微分方程的特解,当t→+∞时有极限速度。
假如物体上固定有降落伞,还可以通过极限速度的表达式来进一步确定降落伞的直径大小。根据测定可知,空气阻力常系数K=αρs,其中α为与物体形状有关的常数, ρ为物质的介质密度, s为物体在地面上的投影面积。由V1表达式,在m,α,ρ一定时,如果要保证落地速度V1不是很大,就可以确定出s来,从而能为跳伞者设计出保证安全的降落伞的直径大小。
三、考古学方面
考古学是历史科学的重要组成部分,其任务在于通过古代人遗留下来的物质资料,以研究古代人类社会的历史。在考古时,通常也能利用微分方程。比如有时为了测定某种文物的绝对年龄,就可以通过考察其中的放射性物质来判断。因为已经证明了这些放射性物质单位时间内将要分解的分子数目正比于存在分子的总数。可以假设时刻t时,该放射性物质的存余量R是t的函数,由裂变规律可以建立微分方程:dR/dt=-kR(其中k为一正常系数,与放射性物质本身有关),求解该方程,得R=Ce-kt,其中C是由初始条件确定的常数,从这个表达式出发,就可以测定某文物的绝对年龄。
在利用微分方程探寻实际问题的三个步骤中,关键是根据实际问题建立微分方程,以及确定初始条件。而建立微分方程的方法,主要是利用导数的几何意义或物理意义直接列出方程,然后求出所列微分方程的通解,并根据初始条件确定出符合实际情况的特解。
参考文献:
[1]周义仓.常微分方程及其应用.科学出版社,2010.5.
[2]张永瑞,杨林耀,张雅兰. 电路分析基础.西安电子科技大学出版社,2002.8.
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常微分方程在电路分析等学科中的应用
来源：南粤论文中心 作者：都鑫 发表于：2010-10-20 10:50 点击：次
【关健词】常微分方程 导数 电路分析
常微分方程是高等数学中一个很重要的分支,同时也是人们解决各种实际问题的有效工具,它在电路分析、电子学、力学、物理学、生命科学、经济学等领域都有着广泛的应用,本文通过几个具体的例子,简单的介绍了常微分方程的实际应用。
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