其中 表示对角矩阵; 表示结构固有振型; , 分别表示第 阶无阻尼固有频率与模态质量,最后结合式(13-14)就可得到结构的总阻尼矩阵。
　　2.3 有限元模型
　　为验证基于假定振型法的模型,建立有限元模型作为对比。每个楼层简化为一个有限元节点,每个节点具有一个平动自由度和一个转动自由度。对于2维梁单元,其对应的单元刚度矩阵和一致质量矩阵 分别为:
　　 , (15)
　　其中 表示单元长度,据此可以组装得到结构的整体刚度矩阵与质量矩阵。由加强层阻尼系统产生的结构附加阻尼矩阵直接给出如下:
　　(16)
　　其中 表示加强层处有限元模型的单元节点号。同理,结构的固有阻尼矩阵 可以参照式(14)得到。
　　3 参数化分析
　　某高层框架-核心筒结构,高140m,40层,外框架平面尺寸为30 m  30 m。取一个方向进行研究,简化后的结构参数为 。参考Smith对传统加强层的位置优化研究[2]及文献[9]的加强层阻尼系统工程实例,加强层宜设计在结构中间左右高度处。再结合悬臂梁转角固有振型,见图2。当 时,二阶与四阶振型值 ; 时,三阶振型值 ,因此 被视为加强层的可能合理位置。与文献[9]的加强层阻尼系统工程实例类似,计划在该方向的四个加强墙与之临近的四个外围框架柱安装八个粘滞液体阻尼器,具体安装见图3[10],阻尼器的两端分别与框架柱和加强层的墙体铰接,加强层与框架柱之间的竖向位移差即为阻尼器的位移。
　　进行复特征值求解,首先要得到系统的状态矩阵,对于假定振型得到的多自由度模型和有限元模型,系统状态矩阵可统一表示如下:
　　(17)
　　使用Matlab软件进行复特征值求解,通过对比发现,对于结构前四阶的优化阻尼常数求解,假定振型阶数 取8时,就可以得到与具有80个自由度的有限元模型的精度。在不同阻尼系数下,结构的振动频率与模态阻尼比见图4。从图4(a) 可以看出,随着结构阻尼的增大,存在模态迁移现象,高阶振型逐渐向其最接近的低阶振型转化。正如文献[12]研究指出,当阻尼器位于支座附近时(正如拉索振动控制系统[11]),结构的反共振频率(即阻尼器阻尼系数无穷大下的结构振动频率)与结构固有频率(即阻尼器的阻尼系数为0)比较接近时,在最优设计的阻尼器参数下,可以达到中等大小的模态阻尼比,不至于达到临界阻尼。相反,当阻尼器离支座较远时,由于结构的反共振频率与结构固有频率相差太大(正如本文的加强层减振系统),结果将大大不同。从图4(b) 还可以看出,低阶振型所需的最优阻尼系数较大,反之,高阶较小。
　　4 减震效果仿真分析
　　在设计阻尼器前,首先要定一个目标阻尼比,按照我国抗震规范,结构附加阻尼比不宜超过20%。此外,一般认为,8-10% 的模态阻尼比即可消除由风荷载共振响应引起的结构反应放大[10]。因此,为经济考虑,本文将目标阻尼比确定在10%左右。结合图4(a)可以看出,在 时,结构前四阶振型尚未发生迁移,表明此时未达到临界阻尼, 结构前四阶模态阻尼比分别为20.1%,9.3%,10.1%,15.6%。考虑到强震作用下,阻尼器的速度一般会达到0.2-0.3(m/s),此时对应的线性粘滞阻尼器的最大出力要达到6000 KN。为降低阻尼器的尺寸与成本,阻尼系数选为 Nm/s,最大设计出力为3000 KN。此时结构前四阶模态阻尼比分别为12.8%,9.3%,10.1%,15.6%。
　　基于Matlab-Simulink 平台,对结构在400 gal 的罕遇地震激励进行了仿真分析,地震波选用1940 EI Centro波。图 5 给出了结构各楼层的最大绝对位移与层间位移,图 6 给出了顶层的绝对位移与相对位移时程曲线,图 7 给出了基底剪力的时程曲线。从图 5-7 可以看出,加强层阻尼系统非常有效,结构顶层位移、相对位移,基底剪力的极值相对无附加阻尼器的情况下,分别下降了52.9%,53.1%与13.1%。
　　图 8 进一步给出了阻尼器的耗能曲线,从图中可以看出阻尼器的位移达到近 6 cm,相对普通的层间位移有较大的放大,从而取得了较好的减震效果。
　　5 结语
　　将传统高层建筑的加强层与外围框架柱分开,并利用二者之间相对大的位移差,布设竖向粘滞阻尼器。该耗能减振系统通过牺牲加强层与外围框架柱协同工作时的附加静力刚度,而换取结构动力性能的改进。基于简化模型优化设计的最优阻尼器位置及阻尼系数可以为该类结构的初步设计提供重要参考,当然最终设计仍然需要采用非线性有限元的时程分析方法进行校核。虽然工程中更倾向于使用非线性粘滞阻尼器,但一般均可按线性粘滞阻尼器的初步设计决定阻尼器位置与阻尼系数,再调整非线性粘滞阻尼器的速度指数。为使该技术能够更好地应用于实际工程,下一步拟结合具体工程背景,开展工程应用研究,解决工程应用时的诸多实际问题。
　　参考文献:
　　[1] 聂建国, 田淑明, 矫金广. 框架-核心筒组合结构体系在选型中的刚度规律[J]. 建筑科学与工程学报, 2008, 25(1): 10-17.
　　NIE Jian-guo, TIAN Shu-ming, JIAO Jin-guang. Stiffness regularity in option of frame-corewall composite structure systems [J]. Journal of Architecture and Civil Engineering, 2008, 25(1): 10-17.
　　[2] Smith B S, Salim I. Parameter study of outrigger-braced tall building structures [J]. Journal of Structural Division, ASCE, 1981, 6: 2001-2014.
 

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