一、引言
　　将随机现象在不同时间点上所处的状态用数据表示出来，就得到一组动态数据，我们可以用时间序列方法为动态数据拟合一个模型，这个模型就揭示了随机现象自身的内在规律。动态数据经过适当的数学处理后[1][2]，会呈现出某种平稳波动性，我们称这种序列为平稳序列。自回归滑动平均模型(ARMA模型)是最常用的平稳序列模型之一，本文重点研究ARMA模型中未知参数的两种估计方法。
　　
　　二、自回归滑动平均模型
　　定义1 对时间序列，如果对任何，有
　　 ，
　　那么就称是一个白噪声，记为。白噪声是最简单的平稳序列，它的各项之间是不相关的。
　　定义2 设是白噪声，如果实系数多项式和无公共根，且满足和
　　与
　　那么就称
　　是一个自回归滑动平均模型，记为 模型。
　　
　　三、参数估计方法
　　假设的拟合模型是模型，和已知，现在、和的估计、、，记，，，，下面介绍两种估计方法：
　　1.矩估计[4]
　　矩估计是先利用延伸的Yule-Walker方程[1]计算出，然后再计算出 (本文使用逆相关函数法[1]求)，具体步骤如下：
　　第一步：计算样本自协方差函数
　　；
　　第二步：解样本延伸Yule-Walker方程
　　得到；
　　第三步：计算数据
　　 ；
　　第四步：从数据出发，按照逆相关函数法[1]即可求得和。
　　2.自回归逼近估计[1]
　　自回归逼近估计是先对观测数据近似拟合一个自回归模型[1]，然后算出残差序列，再对残差平方和极小化得到的，具体步骤如下：
　　第一步：对拟合AR模型，取自回归阶数的上界，利用BIC定阶准则[1]求出的估计，并计算出模型自回归系数的最小二乘估计[1] ；
　　第二步：计算残差序列
　　；
　　第三步：取，用和 构造矩阵
　　 ， ， ，
　　第四步：线性方程组
　　的解就是最小二乘估计；
　　第五步：噪声方差的估计，其中
　　
　　四、仿真计算
　　下面使用Matlab软件[3]，对ARMA模型的矩估计和自回归逼近估计进行仿真计算。设是时间序列的样本观测值，的表达形式如下(是白噪声)：
　　(4.1)
　　系数多项式和的根分别是
　　这些根的模满足
　　故(4.1)是一个可逆模型，，。
　　在模型(4.1)中，我们先假设满足：，，然后从出发生成，之后用矩法和自回归逼近法对做1000次模拟计算，每次都重新产生白噪声和，并且每次都验证平稳和可逆条件，用、和表示1000次模拟估计的平均值，用、和表示1000次模拟估计的标准差，计算结果如下：
　　表4-1 300个采样，1000次模拟估计的平均值
　　表4-2 300个采样，1000次模拟估计的标准差
　　表4-3 500个采样，1000次模拟估计的平均值
　　表4-4 500个采样，1000次模拟估计的标准差
　　表4-5 1000个采样，1000次模拟估计的平均值
　　表4-6 1000个采样，1000次模拟估计的标准差
　　
　　五、结论
　　比较计算结果可以发现：①在1000次模拟计算中，矩法的模拟结果都满足稳定条件和可逆条件，自回归逼近法的模拟结果都满足稳定条件，而可逆条件则偶有不满足，但随着 的增大，模拟结果不可逆的次数在减少；②对固定的N，关于，矩法和自回归逼近法差别不大，都比较接近真值，而关于，矩法较优，关于则是自回归逼近法较优，另外对固定的N，自回归逼近法得到的系数估计较稳定，而噪声方差的估计，则是矩法较稳定；③随着N的增大，矩法和自回归逼近法的模拟结果都是逐渐接近真值的，而且模拟结果的标准差都在逐渐缩小。
　　所以我们在计算ARMA模型中未知参数的估计时，当考虑到稳定条件和可逆条件时，矩估计优于自回归逼近估计。
　　
　　参考文献：
　　[1]何书元.应用时间序列分析.北京大学出版社,2003:1-15,68-90, 128-129,139-141,207-211.
　　[2]潘红宇.时间序列分析.对外经济贸易大学出版社,2005:38, 118-125.
　　[3]孙祥,徐流美,吴清.Matlab 7.0 基础教程.清华大学出版社,2005.
　　[4]Brockwell P J and Davis R A,田铮译.时间序列的理论与方法(第二版).高等教育出版社, 2001:8,193.